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terça-feira, 20 de abril de 2010

A teoria do números, a rainha da matemática

teoria dos números é o estudo dos números naturais ou inteiros positivos 1, 2, 3, 4,... e suas propriedades. O matemático Leopold Kronecker certa vez observou que, ao se tratar de matemática, Deus criou os números naturais e o resto é obra da humanidade. Contudo, os inteiros positivos representam, sem sombra de dúvida, a primeira criação matemática humana, e é difícil imaginar a humanidade destituída da habilidade de contar.
Embora os números naturais constituam, em um certo sentido, o sistema matemático mais elementar, o estudo de suas propriedades tem exercido grande fascínio na mente humana desde as mais remotas épocas da antiguidade, desafiando inúmeras gerações de matemáticos e leigos, que apreciam os seus enunciados simples e intrigantes, cujas demonstrações estão além de qualquer simplicidade.
Dentre os tesouros do antigo Egito se encontra o papiro Rhind descrevendo a matemática praticada no Egito há aproximadamente 2000 anos a.C.. Registros históricos mostram que os  sumérios desenvolveram algum tipo de aritmética pois, por volta de 3500 a.C., possuíam um calendário e, por volta de 2500 a.C., desenvolveram um sistema numérico utilizando o número 60 como base. Os babilônios seguiram essa tradição e se tornaram exímios calculistas; tábuas de barro da Babilônia, datando de 2000 a.C., foram encontradas com elaboradas tabelas matemáticas. Ao final do terceiro milênio a.C. tábuas cuneiformes da Mesopotâmia mostravam que a Aritmética já era bastante sofisticada.
Os números foram utilizados nas transações comerciais por mais de 2000 anos até que se pensasse em estudá-los de forma sistemática. A primeira abordagem científica ao estudo dos números inteiros, isto é, a verdadeira origem da teoria dos números, é geralmente atribuída aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitágoras e seus discípulos fizeram vários estudos interessantes. Eles foram os primeiros a classificar os inteiros de várias maneiras:números paresímparesprimosetc..
 Na verdade não são exatamente os números naturais que exercem fascínio estético, místico e prático, mas as relações que eles estabelecem entre si. É dentro dessas relações profundas e sutis que se encontra a beleza, encanto e fascínio que os números exercem através das gerações.
teoria dos números é a área da matemática cujo objetivo é descobrir e estabelecer as relações profundas e sutis que números de tipos diferentes guardam entre si. Por exemplo, considere os quadrados dos números naturais 1, 4, 9, 16, 25,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso é:  , mas existem outros exemplos:  ,  , e muitos outros. As ternas deste tipo, (3, 4, 5), (5, 12, 13), (20, 21, 29), são denominadas ternas pitagóricas. Por outro lado  não é um quadrado. Portanto seguem questões como “Existem infinitas ternas pitagóricas?”  e “ Se a resposta for positiva, poderemos encontrar uma fórmula que as descrevam em sua totalidade?”. Esses são alguns dos tipos de questões que a teoria dos números investiga.
 teoria dos números é povoada por uma variedade enorme de objetos: números primosquadradosímpares e perfeitos; conjuntos dos números racionaisalgébricos, e transcendentes, algumas funções analíticasbastante específicas tais como séries de Dirichlet e formas modulares; equações tais como a de Fermat e de Pellcurvas elípticascódigos, alguns objetos geométricos tais como reticuladosfeixes sobre Z e muitos outros que encontraremos em nossa jornada através da teoria dos números. 

As Ternas Pitagóricas


A teoria dos números é a área da matemática que investiga relações profundas e sutis entre os números inteiros positivos. Pitágoras e seus seguidores ligaram tais números à geometria e, dessa forma, iniciou-se uma das vertentes mais bem sucedida da teoria dos números, a saber o binômio: aritmética e geometria. Por volta de 1700 AC foram encontradas, na Babilônia, tabelas contendo listas de ternas de números inteiros com a propriedade de que um dos números quando elevado ao quadrado era igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como tais listas eram extensas, acredita-se que os Babilônios já possuíam um método sistemático de gerar tais ternas. Há registros históricos que comprovam a existência e uso de tais tabelas no Egito antigo.Considere os quadrados dos números naturais 1², 2², 3², 4², 5²,... . Se tomarmos a soma de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um outro quadrado. O exemplo mais famoso desse fato é: 3²+4²=5², mas existem outros exemplos: 5²+12² = 13², 20²+21² = 29², e muitos outros. Contudo 2²+3² =13 não é um quadrado. Portanto, é natural perguntar se existe um número infinito de ternas Pitagóricas. A resposta é afirmativa e o motivo é muito simples: se (x, y, z) é uma terna Pitagórica, então ao multiplicá-la por um inteiro positivo c, obtemos (cx, cy, cz) que é uma nova terna Pitagórica, pois, 


(cx)²+(cy)²= c²(x²+y²) = c²z² = (cz)².

Por outro lado essas ternas não são as mais interessantes e então definimos ternas primitivas, ou seja, aquelas em que a, b, e c não possuem fator comum e satisfazem à relação x²+y² = z².
Por outro lado, os Pitagóricos estavam interessados nos triângulos retângulos cujos catetos têm comprimento inteiro x e y e o comprimento z da hipotenusa se relaciona com x e y de modo que z² = x²+y². Tal relação é o o famoso Teorema de Pitágoras. A procura de todos os inteiros positivos que satisfazem à identidade x²+y²=z² é equivalente ao problema de se determinar todos os triângulos retângulos cujos lados são inteiros.
Os Pitagóricos foram, por volta de 600 AC, os primeiros a dar um método de determinação de infinitas ternas desse tipo, hoje denominadas de ternas Pitagóricas. Utilizando uma notação atual descrevemos o método da seguinte maneira: 


sejam x = n,  y = 1(n²– 1), z = 1 (n² + 1)


 onde n é um inteiro ímpar maior que 1; então a  terna resultante (x, y, z) é uma terna Pitagórica onde z = y + 1. Observe alguns exemplos: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Observe que existem outras ternas além dessas: por exemplo, quando z = y + 2, ou seja, 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101². O filósofo Platão (430 – 349 AC) encontrou um outro método para determinar todas essas ternas, que em notação moderna são as fórmulas: x = 4n, y = 4n² – 1, z = 4n² +1. O matemático grego Tales de Mileto provocou uma mudança substancial no conhecimento quando transformou  a matemática que até então era praticada como alguma forma de numerologia em uma ciência dedutiva. Por volta de 300 AC, quando Euclides publicou a coleção de 13 livros denominada Elementos, todos os fatos matemáticos apresentados foram demonstrados formalmente. No décimo livro, Euclides deu um método de obtenção de todas as ternas Pitagóricas. Apesar de não apresentar uma demonstração formal do seu método, Euclides obtinha todas as ternas. Utilizando-se a notação atual, o método consiste nas seguintes fórmulas: 


x = t(a²-b²), y = 2tab, z = t(a²+b²)


 onde t, a, e b, são inteiros positivos arbitrários tais que a>b, a e b não possuem fatores em comum, e se a é ímpar então b é par e vice-versa. Isso resolve completamente o problema natural de se saber quais são todas as ternas Pitagóricas.

sexta-feira, 16 de abril de 2010

Absurdo matemático 3


2+2 é igual a 5???

Vamos verificar:

Começamos com a seguinte igualdade, que é verdadeira:
16-36 = 25-45

Somamos (81/4) nos dois lados, o que não altera a igualdade:
16-36+(81/4) = 25-45+(81/4)

Isso pode ser escrito da seguinte forma: (trinômio quadrado perfeito)
(4-(9/2))2 = (5-(9/2))2

Tirando a raiz quadrada em ambos os lados temos:
4-(9/2) = 5-(9/2)

Somando (9/2) nos dois lados da igualdade temos:
4 = 5

Como 4=2+2 chegamos a seguinte conclusão:
2+2=5

Absurdo matemático 2


4 é maior que 5???

Vamos verificar:

Começamos com a seguinte inequação:
(1/81)>(1/243)

Ou seja:
(1/3)4>(1/3)5

Aplicando o logaritmo decimal dos dois lados obtemos:
log10(1/3)4>log10(1/3)5

Aplicando a propriedade da potência dos logaritmos temos:
4 log10(1/3)>5 log10(1/3)

Dividindo ambos os lados por log10(1/3) chegamos a conclusão:
4>5

claro que essa solução tem um erro, descubram e postem, um forte abraço!!!

Absurdo matemático 1


2 é igual a 1???

Vamos verificar:

Sejam a e b pertencentes ao reais, sendo a e b diferentes de zero. Suponhamos quea=b.
Então, se a=b, multiplicando os dois lados da igualdade por a temos:
a2=ab

Subtraindo b2 dos dois lados da igualdade temos:
a2-b2=ab-b2

Sabemos (fatoração), que a2-b2=(a+b)(a-b). Logo:
(a+b)(a-b)=ab-b2

Colocando b em evidência do lado direito temos:
(a+b)(a-b)=b(a-b)

Dividindo ambos os lados por (a-b) temos:
a+b=b

Como no início dissemos que a=b, então no lugar de a eu posso colocar b:
b+b=b

Portanto 2b=b. Dividindo ambos os lados por b finalmente chegamos a conclusão:
2=1

descubram o erro e postem...divirtam-se e um forte abraço!!!

O Último Teorema de Fermat


INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo fazer um apanhado histórico do Último Teorema de Fermat, explicando sua origem e os acontecimentos relacionados ao mesmo ao longo da história até chegar aos dias atuais, enfocando a sua importância para o desenvolvimento da matemática nos últimos três séculos, visto que trata-se de um dos problemas mais instigantes da história da matemática e que vem levando matemáticos de todas as épocas a tentar solucioná-lo.

No desenvolvimento, o presente trabalho tentará explicar o porquê de tamanho interesse em um problema aparentemente simples. Veremos que o mesmo não é tão simples e que a solução do mesmo é mais relevante do que se poderia supor a princípio, levando inclusive à criação de um prêmio milionário para aquele que conseguisse solucioná-lo, e inúmeros feitos durante os três séculos de tentativas de solução.

I – A ORIGEM DO PROBLEMA

1.1 Quem foi Fermat?

Pierre Fermat viveu na França do século XVIII e era funcionário público na cidade francesa de Toulouse, a matemática para ele era um passatempo, dedicando seu tempo livre a mesma. Uma das características de Fermat que ficou famosa era o seu costume de apresentar a outros matemáticos problemas desafiantes, que muitas vezes deixavam seus contemporâneos irremediavelmente atolados na tentativa de solucioná-los. Foi com essa característica desafiadora e pesquisando autores gregos antigos que Fermat criou uma proposição muito semelhante ao teorema de Pitágoras, mas que diferente deste, não tinha uma solução, essa proposição atravessou os tempos e ficou conhecida como o último teorema de Fermat.

Um detalhe importante sobre Fermat é que ele era considerado um matemático amador, apesar da qualidade de sua produção ter sido excelente, assim sendo não havia uma preocupação por parte do mesmo de documentar o seu trabalho, visto que seu interesse pela matemática não era profissional, isto com certeza dificultou o estudo de sua obra, de excelente qualidade, mas feita de forma amadora. Essa característica da personalidade de Fermat ajudou a criar o mistério em torno do seu último teorema que não pode ser solucionado de imediato como os demais o foram.

1.2 As observações de Fermat

O mérito da descoberta desta proposição se deve ao seu filho mais velho, que percebeu várias notas de Fermat em um livro de Aritmética que pertencia a este, pois o mesmo tinha o hábito de fazer anotações em livros. Após a descoberta pelo filho, essas notas foram publicadas no livro Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat, em 1670, o livro apresentava 48 observações sem, no entanto, solucionar as demonstrações, que foram provadas ao longo do tempo, menos uma que justamente por ter sido a última, ficou conhecida como o último teorema de Fermat.

1.3 A dificuldade em encontrar a solução

A dificuldade surge quando Fermat, analisando observações a respeito do teorema de Pitágoras, se depara com a equação x2+y2=z2. Substituindo o 2 por 3 percebeu que não havia solução, e substituindo o valor da potência por números maiores que 3 a equação continuava não apresentando solução. A partir daí chegou a uma outra equação mais geral xn+yn=zn, onde n representa 3, 4, 5, ... que também não possuíam solução, ou seja, Fermat pegou um problema específico e o transformou em algo mais amplo capaz de representar uma gama maior de soluções que ainda precisavam ser demonstradas, já que n não está definido, a não ser pelo fato de ser maior que 2, sendo x, y e z números inteiros.

Fermat então escreveu a seguinte nota:
"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas potências com o mesmo expoente”.
Ao que se sabe, Fermat teria encontrado uma solução para o problema, como se observa na seguinte nota atribuída ao mesmo:
“Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não cabe nas margens deste livro”.
O problema é que, como se sabe, o matemático tinha o costume de anotar suas observações nas páginas dos livros que pesquisava não tendo, portanto a preocupação de formalizar tais considerações. Portanto o mistério de qual teria sido a tal “demonstração” de Fermat e a dificuldade em se encontrar a solução foram suficientes para manter o interesse dos matemáticos sobre tema por mais de 350 anos.

1.3.1 As tentativas ao longo dos tempos

O comentário de Fermat foi suficiente para manter várias gerações de matemáticos empenhados na tentativa de solucionar o problema ou de provar que ele é falso, uma solução definitiva só surgiu em 1994 como veremos mais adiante, mas até então isto não ocorreu e muitas tentativas de solucionar o problema foram empreendidas sem o sucesso esperado, porém com interessantes implicações para a matemática e para as ciências em geral. O primeiro grande questionamento desse problema e que todos faziam, era: como Fermat chegou a demonstração do mesmo? Já que ele não a deixou registrada, o que se sabe é que tal demonstração necessitava de um ferramental matemático que não estava disponível no século XVIII. Assim, novamente surge a dúvida se realmente Fermat teria encontrado uma demonstração para o teorema, porém foi essa dúvida que suscitou gerações de matemáticos a se empenharem na solução, produzindo muito material acadêmico que acabou contribuindo para o desenvolvimento da matemática, é o caso da descoberta da teoria dos Anéis Comutativos, que é, digamos, um "subproduto" do último teorema de Fermat.

Dentre os grandes matemáticos ao longo dos tempos que tentaram solucionar o problema podemos citar: Euler, Dirichlet (1828), Legendre (1830), Gabriel Lamé (1839), Sophie Germain, Kummer e mais recentemente, Wagstaff (1980).

Um fato interessante é que Kummer, em 1847, ao tentar demonstrar o teorema, criou o método dos divisores complexos, a que chamou números complexos ideais, contribuindo para o desenvolvimento da teoria dos números.

Nesse ponto o teorema de Fermat já era uma lenda no mundo acadêmico e amador, foram criados então vários concursos que visavam premiar aquele que fosse capaz de apresentar uma solução para o problema. Como exemplo, temos em 1908, o prêmio oferecido pelo professor Paul Wolfskehl da Real Academia de Göttingen, Alemanha, que oferecia um prêmio de 100 000 marcos à primeira pessoa que desse uma demonstração completa da conjectura de Fermat. Fato que não ocorreu, apesar de muitas provas terem sido enviadas, todas estavam incorretas, inclusive de matemáticos profissionais que chegaram a publica-las.

1.4 A solução nos dias atuais

Contemporaneamente, a primeira contribuição importante para o problema foi dada por dois matemáticos: Yutaka Taniyama e Goro Shimura. A conjectura apresentada pelos dois serviu de base para solução definitiva do problema, infelizmente um dos matemáticos, Yutaka Taniyama, cometeu suicídio em 1958, adiando ainda mais o desenvolvimento da solução. O desenvolvimento dessa conjectura não foi intencionalmente feito para solucionar o Último Teorema de Fermat, mas foi o que acabou acontecendo. Interessante notar que vários matemáticos partiram da tentativa de solucionar o problema e acabaram fazendo contribuições importantes para outras áreas da matemática, sem intenção de fazê-lo, já no caso dos dois matemáticos citados, o fato ocorreu às avessas, o que demonstra a subjetividade do campo matemático, que se assemelha a uma forma de arte em que a inspiração é tão ou mais importante do que o trabalho metódico e racional, que geralmente está associado a matemática.

Com isso, mais uma característica interessante da matemática surge, que é a inter-relação entre as suas diversas subáreas, visto que o conhecimento produzido em um campo pode ser utilizado em aplicações de outros, e que o trabalho matemático, principalmente o de vanguarda, sempre terá uma aplicação, mesmo que seja insuspeita a princípio, pois quem imaginaria que o trabalho de dois estudantes do final do século XX poderia ser utilizado na solução de um dos problemas mais instigantes da história da matemática?
Observa-se dessa forma, que a pesquisa teórica é a semente de todo o desenvolvimento científico, e que a matemática como base de todas as ciências naturais, é o ferramental básico de toda pesquisa, sem tal ferramenta não seria possível abstrair a mente e criar conjecturas necessárias para desenvolver as soluções e técnicas modernas que transformam a vida de toda a humanidade. O senso comum poderia dizer que tais conjecturas são inúteis, desprovidas de qualquer utilidade prática, mas sem elas não nenhuma das técnicas modernas que desenvolvem a sociedade seriam possíveis. E mesmo a resolução de um problema tão teórico como o "Último Teorema de Fermat" está intimamente ligado a todo esse processo de crescimento da sociedade, visto que se observa nele a mesma essência necessária para o progresso da sociedade e da vida humana.

A conjectura feita pelos dois matemáticos diz que para cada equação elíptica há uma forma modular correspondente; a relevância dessa conjectura reside no fato de que se a mesma estiver correta ela poderia ser aplicada ao Último Teorema de Fermat provando a sua veracidade. Ou seja, para provar se o Último Teorema de Fermat era ou não verdadeiro, deveria se provar primeiro a conjectura Taniyama-Shimura, e foi exatamente isso que Andrew Wiles fez, como veremos no próximo capítulo.

Pelo que foi dito acima, percebe-se que não é possível desenvolver um trabalho em matemática ou em qualquer outra área, sem a contribuição de outros pesquisadores, sendo sempre necessário consultar outras pesquisas de modo a encontrar algo que possa ser útil, pois a pesquisa matemática não se faz isoladamente mas através do intercâmbio de idéias entre diversas pessoas e o estudo minucioso de pesquisadores já consagrados pela relevância de seus trabalhos.

No presente caso, sem a contribuição de Yutaka Taniyama e Goro Shimura dificilmente se teria chegado a uma resolução do problema, como de fato ocorreu alguns anos depois, demonstrando desse modo a importância do intercâmbio de idéias no mundo matemático.

II – A DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA

A solução definitiva do teorema se deve a Andrew Wiles, um professor da Universidade de Princeton, que iniciou seu interesse pelo problema ainda menino na biblioteca pública de sua cidade natal. Mas só a partir de 1986 é que começou realmente o trabalho de solucionar o teorema, o detalhe é que a sua pesquisa foi feita em segredo, talvez temendo a pressão que sofreria diante de um problema tão famoso e de difícil solução. Assim sendo, durante sete anos publicou outros trabalhos, afim de não despertar suspeitas sobre o seu verdadeiro objetivo, e apesar de não ser sua meta principal, estes trabalhos acabaram tendo grande relevância acadêmica, unificando e criando novas técnicas matemáticas.

Mas foi a partir da análise da conjectura Taniyama-Shimura que Andrew Wiles percebeu que o teorema poderia ser solucionado, porém a conjectura necessitava ser comprovada, ficou claro então na mente de Wiles que a solução do teorema dependeria da comprovação da conjectura, na verdade Wiles não demonstrou o Último Teorema de Fermat, mas a conjectura Taniyama-Shimura, sendo que esta levou a aquela.

Finalmente, no dia 23 de junho de 1993, em uma Conferência no Sir Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences em Cambridge, Andrew Wiles, passados 356 anos desde a apresentação do teorema, faz o anúncio da descoberta de sua demonstração, para assombro de todos os presentes. Infelizmente havia uma pequena falha na sua demonstração, Wiles então se afasta por mais um ano, a fim de corrigir o erro e apresentar a nova demonstração reformulada.

Um detalhe deve ser lembrado nesse momento: para a maioria das pessoas, a matemática é uma ciência exata e perfeita, isso se deve a maneira como os professores, de modo geral, apresentam a matéria a seus alunos nas salas de aula, onde há sempre uma solução para cada problema e essas soluções se desenvolvem naturalmente sem percalços e nem dificuldades, pelos menos da maneira como são apresentadas, dando a impressão ao aluno que a dificuldade de encontrar uma solução para tais problemas é somente dele, que não tem capacidade para resolve-los. Esse tipo de matemática "higiênica" não deixa o aluno perceber que as dificuldades são normais na matemática e que até os grandes matemáticos se atolam na tentativa de solucionar os problemas. E que em matemática, tão importante quanto a solução de um problema é a maneira como se chega a ele, e é durante esse processo que ocorre a aprendizagem e não simplesmente obtendo uma resposta correta, que em si não significa nada, mas possui significado apenas se vier acompanhada de uma demonstração, pois é ai que reside o processo de aprendizado e onde algo de relevante pode ser notado. Como foi visto até aqui, várias contribuições foram feitas a matemática na tentativa de solucionar um problema, sem necessariamente atingir o objetivo principal.

Voltando à demonstração de Wiles, após a correção do erro detectado, foram necessários mais alguns meses para a apreciação da demonstração, que possuía cerca de 200 páginas, e após um período de suspense, a demonstração é finalmente aceita, sendo porém tão técnica que apenas alguns poucos no mundo todo eram capazes de compreendê-la, e Andrew Wiles (após receber um prêmio de 50 mil libras da Fundação Wolfskehl) entra para a história como o matemático que conseguiu demonstrar o teorema mais instigante e desafiador da história da matemática, que atravessou as épocas e ocupou a mente de grandes matemáticos ao longo desse período, “O Último Teorema de Fermat” foi definitivamente solucionado.

CONCLUSÃO

O objetivo deste trabalho foi tentar ressaltar a importância da pesquisa científica, e especificamente matemática, para a sociedade em geral, através de um apanhado histórico de fatos relevantes envolvendo o Último Teorema de Fermat. Com a apresentação desses fatos, tentou-se demonstrar que a matemática é um importante aliado para o benefício da sociedade visto que suas descobertas têm aplicação prática, mesmo que não seja imediata, ajudando a compreender fenômenos físicos, químicos, biológicos, etc... Que estão intimamente ligados ao nosso cotidiano, e do qual dependemos para viver e progredir como sociedade.
O Último Teorema de Fermat foi utilizado como exemplo a fim de mostrar como a matemática pode ser instigante e desafiadora, sendo uma ciência viva e dinâmica, e tentar desvincular dela a imagem de algo enfadonho e inútil; uma forma branda de tortura.
Deve ficar claro na mente de quem ler este trabalho, que não é a matemática enfadonha ou inútil, e se é essa a imagem que a pessoa tem, isso se deve a maneira como a matemática foi apresentada a ela.
Esperamos que se possa compreender a relevância da matemática para o desenvolvimento do mundo contemporâneo, não a culpando por prováveis dificuldades no sistema educativo.

BIBLIOGRAFIA:

• SINGH, Simon, O Último Teorema de Fermat, 1.ed. Rio de Janeiro: Record, 2002.
• FERMAT, Pierre, Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat, 1.ed. 1670.
• NASAR, Sylvia, Uma Mente Brilhante, 1.ed. Rio de Janeiro: Record, 2002.
• MARCONDES CÉSAR, Roberto, Resenha – O Último Teorema de Fermat. Disponível em http://www.ime.usp.br/. Acesso em : 29 mai. 2005 .
• MOREIRA CALAES, Antônio, Teorema de Fermat – Resumo Histórico. Disponível em http://www.powerline.com.br/~drcalaes/demo_do_teorema_port.htm, Acesso em : 29 mai. 2005.



quarta-feira, 14 de abril de 2010

Frases matemáticas

A matemática é o alfabeto com o qual DEUS escreveu o universo
            (Pitágoras)
O orgulho no ofício obriga os matemáticos de uma geração a desembaraçar-se do trabalho inacabado dos seus antecessores.
              (E.T Bell)
 Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base.
             (Auguste Conté)
 A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimento naturalmente desenvolvido por pessoas durante um período de 5000 anos...
            (Frank Swetz)





Olhando para a imensidade desta matéria, a Matemática, mesmo a  Matemática moderna, é uma ciência na sua infância. 
  (A. N. Whitehead) 





Mas há uma outra razão que explica a elevada reputação das Matemáticas, é que elas levam às ciências naturais exactas uma certa proporção de segurança que, sem elas, essas ciências não poderiam obter.  
 (Albert Einstein)






O grande arquitecto do universo começa agora a aparecer como um matemático puro. 
 (J. H. Jeans, 1930)






A História mostra que os chefes de império que encorajaram o culto das Matemáticas, fonte comum de todas as ciências exactas, são também aqueles cujo reinado foi mais brilhante e cuja glória é mais duradoura. 
  (Miches Charles (1783-1880))






Só um governo inteligente sabe proteger a Matemática. 
 (Piérre Rousseau)






Por toda a parte existe Geometria. 
 (Platão)






Não há estradas reais para chegar à Geometria. 
(Disse Euclides ao jovem faraó Ptolomeu I em Alexandria (séc. IV a.c.))






A Matemática é a chave de ouro com que podemos abrir todas as ciências. 
(Victor Duruy)






A Matemática é a honra do espírito humano.  
(Leibniz)






Toda a minha Física não passa de uma Geometria. 
(Descartes)






A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo génio do homem para a descoberta da verdade.
        (Laisant)

Desafio 7


(Olimpíada Brasileira de Matemática) A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. 
Quanto vale a + b + c?

a) 21
b) 36
c) 32
d) 28
e) 41

Desafio 6


(Olimpíada Brasileira de Matemática) O número 1000 ... 02 tem 20 zeros. Qual é a soma dos algarismos do número que 
obtemos como quociente quando dividimos esse número por 3? 

a) 37
b) 45
c) 55
d) 64
e) 94

Desafio 5


(Olimpíada Brasileira de Matemática) Joana escreve a sequencia de números naturais 1, 6, 11, ... onde cada número, com 
excessão do primeiro, é igual ao anterior mais cinco.
Joana para quando encontra o primeiro número de três
algarismos. Esse número é :

a) 100
b) 101
c) 102
d) 103
e) 104

Desafio 4


(Olimpíada Brasileira de Matemática) Considere dois números naturais, cada um deles com três algarismos diferentes.  
O maior deles só tem algarismos pares e o menor só tem algarismos
 ímpares. O menor valor possível para a diferença entre eles é:

a) 111
b) 49
c) 7
d) 69
e) 5



Desafio 3


(Olimpíada Brasileira de Matemática) Dos números a seguir,
 qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro
 naturais consecutivos?

a) 712
b) 548
c) 1.026
d) 1.456
e) 1.680

Desafio 2






(Olimpíada Brasileira de Matemática) Considere os 
números. Assinale a opção correta :








 


a) X < Z < Y
b) Y < X < Z
c) Y < Z < X
d) Z < X < Y
e) Z < Y < X



















Desafio 1


(Olimpíada Brasileira de Matemática) O valor da soma 

é :







a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 4/3
e) 2

quarta-feira, 7 de abril de 2010

Probleminha 16

Acertei dois relógios no dia 1 de junho, ao meio dia e depois os guardei. O primeiro adiantava 10 segundos por hora e o outro atrasava 10 segundos por hora. Quando é que os dois relógios voltarão a marcar a mesma hora?

(Tirado da R.P.M. nº 16)

Probleminha 15

Se galinha e meia põe ovo e meio em dia e meio, quantos ovos põe uma galinha em 6 dias?

(Tirados de Thesouro da juventude, W.M. Jackson.)

Probleminha 14

Numa adega foram detectados dois barris com vazamento, sendo que ambos têm o mesmo diâmetro, mas um o dobro da altura do outro. Foi observado que ambos começaram a vazar ao mesmo tempo e que uma hora e quinze minutos após o início do vazamento os dois barris estavam com a mesma quantidade de vinho. Ao fim de duas horas de vazamento, o maior barril estava totalmente vazio. Qual será o tempo necessário para que o menor barril fique totalmente vazio?

(Retirado da R.P.M. nº24 de 1993)

Probleminha 13

 Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem um número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem um número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Quantos filhos e filhas tem o casal?

(Questão proposta em um exame vestibular da FUVEST)

Probleminha 12

 Eu não tenho relógio de pulso, mas tenho em casa um excelente relógio de parede ao qual, às vezes, esqueço de dar corda. Uma vez, quando isto aconteceu, fui à casa de um amigo que tem um cronômetro marcando a hora exata e lá passei algum tempo. Depois voltei para casa e acertei o meu relógio de parede. Como pude fazê-lo se eu não sabia a duração da viagem?

(Tirado de fascículos da Revista Engenheiro Moderno, dos anos 1965 e 1966)

terça-feira, 6 de abril de 2010

Bimestre (abril e maio)

Essa promoção é valida pra todos os usuários do blog:


Período: 05/04/2010 à 31/05/2010
Premiação:"O Último Teorema de Fermat"
http://professorananiasribeiro.blogspot.com/search/label/Dicas%20de%20leitura


Entrega: até o dia 05/06/2010 (com direito a foto do vencedor no blog)


Como funciona?


Julgaremos, não pela quantidade de postagens, mas sim , pela qualidade e dedicação  da resolução, lógico que quanto mais postagens você fizer, mais chance terá de ganhar.


Bons estudos, lembrem-se estarei de olho nas postagens, um forte abraço!!!!  

domingo, 4 de abril de 2010

MATEMÁTICA E AS PROFISSÕES


MATEMÁTICA E AS PROFISSÕES
A Matemática faz parte de quase todas as profissões. Confira na tabela abaixo as aplicações da Matemática em algumas das profissões mais tradicionais.
Profissão
Aplicações
Administração
A administração requer muito planejamento, organização e controle. Portanto, é indispensável que o administador tenha habilidade em lidar com números. Muitas vezes ele deverá preparar orçamentos para projetos, planejar e controlar pesquisas, além de resolver situações que envolvam cálculos estatísticos. O trabalho do administrador está diretamente ligado com a exatidão dos números, e por isso ele precisa ter domínio da matemática para ser bem sucedido.
Agronomia
Cálculo dos componentes químicos destinados à fertilização e dimensionamento das áreas a serem cultivadas.
Arquitetura
A matemática é fundamental para que o arquiteto possa desenvolver o seu trabalho. O arquiteto trabalha na construção de casas, edifícios, reformas, restaurações e no planejamento de bairros e cidades. A arquitetura é uma união das áreas de exatas, humanas e arte, pois exige aptidões múltiplas, como o domínio de cálculos, desenhos intuitivos e história.
Cinema
Muitas animações que vemos no cinema utilizam a Matemática, através da computação gráfica. Desde o movimento dos personagens até o quadro de fundo podem ser criados por softwares que combinam pixels em formas geométricas, que são armazenadas e manipuladas. Os softwares codificam informações como posição, movimento, cor e textura de cada pixel. Para isso, utilizam vetores, matrizes e aproximações poligonais de superfícies para determinar a característica de cada pixel. Um simples quadro de um filme criado no computador tem mais de dois milhões de pixels, o que torna indispensável o uso de computadores para realizar todos os cálculos necessários.
Direito
O profissional do Direito utiliza a Matemática quando trabalha com causas que envolvam a realização de cálculos, como por exemplo bens, valores, partilhas e heranças.
Engenharia
A matemática é imprescindível à formação dos engenheiros, seja qual for o seu ramo (engenharia civil, engenharia elétrica etc). É usada na construção de edifícios, estradas, túneis, metrôs, ferrovias, barragens, portos, aeroportos, usinas, sistemas de telecomunicações, criação de dispositivos mecânicos, desenvolvimento de máquinas, entre outros.
Geologia
O geólogo utiliza diversos princípios da Matemática para escavar, conhecer e avaliar os segredos do solo e das pedras.
Jornalismo
A Matemática é útil aos jornalistas de economia e política, além daqueles que utilizam dados estatísticos em seus trabalhos.
Odontologia
O dentista utiliza a Matemática para calcular composições de amálgamas, posologias, doses de anestésicos e também para dimensionar próteses e aparelhos corretivos.
Psicologia
O psicólogo utiliza a Matemática para a análise de dados estatísticos e avaliação de testes.


retirado do site: somatematica.com.br