O,999... É IGUAL A 1?

Introdução

O número decimal 0,999..., que também pode ser representado por :

é uma outra representação do número real 1. Em outros termos, podemos dizer que os símbolos 0,999... e 1

representam a mesma idéia, mesmo que isso ainda possa assustar às pessoas. Essa igualdade foi

aceita com o passar do tempo, ensinada por professores e livros didáticos, existindo diversas provas

formais ou intuitivas que comprovam essa igualdade.

É claro que tal igualdade tem gerado sustos, rejeições e, mesmo pessoas com boa base matemática

colocam dúvidas com relação à essa igualdade.

Esse nosso texto, que não pretende esgotar o assunto, vem trazer algumas informações, provas e

análises sobre o tema, procurando argumentar de forma lógica e objetiva sobre essa temática

importante na formação de professores e nas aulas da Escola Básica. Trata-se de tema inserido no

estudo dos números racionais e, consequentemente, dos números reais.

0,999... é um número escrito no sistema numeral decimal, e há algumas provas que 0,999... = 1.

Métodos algébricos, aritméticos e de análise matemática são usados nessas demonstrações.

Diversos conceitos importantes da matemática escolar podem ser envolvidos nessa discussão em

sala de aula, como: progressões geométricas, limites, números racionais, etc.

Demonstração formal :

1 / 9 = 0,111... 

2 / 9 = 0,222... 

3 / 9 = 0,333... 

4 / 9 = 0,444... 

5 / 9 = 0,555... 

6 / 9 = 0,666...

7 / 9 = 0,777... 

8 / 9 = 0,888... 

9 / 9 = 0,999...,

 logo...

Seja q um número real qualquer e consideremos a soma:

que representa a soma dos termos de uma progressão geométrica. Multiplicando a soma pelo 

número q obtemos: 

assim, acrescentando 1 unidade a ambos os termos dessa igualdade, temos: 

Logo: 

Se q é distinto de um, então 

Usaremos essa fórmula para algumas das provas que iremos colocar. 

Definição de 0,999…

Podemos escrever 

0,9999...=0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...

Verificamos tratar-se de uma progressão ou série geométrica (de primeiro término a = 0,9 e razão

 q = 1/10): 

Limite da série:

Aplicando a soma da P.G., que demonstramos anteriormente, teremos: 

Ao tomarmos o limite, observamos que: 

Assim, obtemos:

Argumentos não-formais 

Apresentaremos a seguir alguns argumentos não formais mas que podem ser usados em classes do 

Ensino Fundamental. 

Multiplicação de 1/3 

• Dizemos que 1/3 = 0,333… 

• Multiplicamos por 3 ambos os membros: 3 × (1/3) = 3 × 

0,333…, que deveria dar 0,999… 

• Vemos que 0,999… deve ser 1, pois, que (1 / 3) × 3 = 1. 

Com x = 0,999…

• Suponhamos que x = 0,999… [1] 

• Multiplicamos por 10 os dois números: 10x = 9,999… [2] 

• Subtraindo membro a membro dessas igualdades ([2] – [1]), teremos: 10 x - x = 9,999… - 

0,999… 

• Obtemos que 9x = 9, é dito, x = 1, como queríamos demonstrar. 

Com fórmula matemática 

• Se x é um número inteiro entre 0 e 9, podemos considerar a seguinte fórmula :

0,xxxxx...= x/9

• Tomamos o valor numérico de "x" como "9" 

• Chegamos a conclusão de que: 

0,9999...=9/9 = 1

Transformando num produto. 

 1 

= 9/9 

= 9 × 1/9 

= 9 × 0,111... 

= 0,999... 

Bibliografia: 

1.  Números Racionais e Irracionais, Ivan Niven, Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, 1984
2. A Matemática do Ensino Médio, Volume 1, Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado, Coleção do professor de Matemática, SBM
3. Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Coleção Matemática Universitária, IMPA