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segunda-feira, 4 de agosto de 2014

O,999... É IGUAL A 1?

Introdução
O número decimal 0,999..., que também pode ser representado por :
é uma outra representação do número real 1. Em outros termos, podemos dizer que os símbolos 0,999... e 1
representam a mesma idéia, mesmo que isso ainda possa assustar às pessoas. Essa igualdade foi
aceita com o passar do tempo, ensinada por professores e livros didáticos, existindo diversas provas
formais ou intuitivas que comprovam essa igualdade.
É claro que tal igualdade tem gerado sustos, rejeições e, mesmo pessoas com boa base matemática
colocam dúvidas com relação à essa igualdade.
Esse nosso texto, que não pretende esgotar o assunto, vem trazer algumas informações, provas e
análises sobre o tema, procurando argumentar de forma lógica e objetiva sobre essa temática
importante na formação de professores e nas aulas da Escola Básica. Trata-se de tema inserido no
estudo dos números racionais e, consequentemente, dos números reais.
0,999... é um número escrito no sistema numeral decimal, e há algumas provas que 0,999... = 1.
Métodos algébricos, aritméticos e de análise matemática são usados nessas demonstrações.
Diversos conceitos importantes da matemática escolar podem ser envolvidos nessa discussão em
sala de aula, como: progressões geométricas, limites, números racionais, etc.

Demonstração formal :

1 / 9 = 0,111... 
2 / 9 = 0,222... 
3 / 9 = 0,333... 
4 / 9 = 0,444... 
5 / 9 = 0,555... 
6 / 9 = 0,666...
7 / 9 = 0,777... 
8 / 9 = 0,888... 
9 / 9 = 0,999...,
 logo...
Seja q um número real qualquer e consideremos a soma:


que representa a soma dos termos de uma progressão geométrica. Multiplicando a soma pelo 
número q obtemos: 


assim, acrescentando 1 unidade a ambos os termos dessa igualdade, temos: 


Logo: 
Se q é distinto de um, então 



Usaremos essa fórmula para algumas das provas que iremos colocar. 

Definição de 0,999…
Podemos escrever 

0,9999...=0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...

Verificamos tratar-se de uma progressão ou série geométrica (de primeiro término a = 0,9 e razão
 q = 1/10): 


Limite da série:
Aplicando a soma da P.G., que demonstramos anteriormente, teremos: 


Ao tomarmos o limite, observamos que: 


Assim, obtemos:


Argumentos não-formais 

Apresentaremos a seguir alguns argumentos não formais mas que podem ser usados em classes do 
Ensino Fundamental. 

Multiplicação de 1/3 
• Dizemos que 1/3 = 0,333… 
• Multiplicamos por 3 ambos os membros: 3 × (1/3) = 3 × 
0,333…, que deveria dar 0,999… 
• Vemos que 0,999… deve ser 1, pois, que (1 / 3) × 3 = 1. 

Com x = 0,999…
• Suponhamos que x = 0,999… [1] 
• Multiplicamos por 10 os dois números: 10x = 9,999… [2] 
• Subtraindo membro a membro dessas igualdades ([2] – [1]), teremos: 10 x - x = 9,999… - 
0,999… 

• Obtemos que 9x = 9, é dito, x = 1, como queríamos demonstrar. 

Com fórmula matemática 
• Se x é um número inteiro entre 0 e 9, podemos considerar a seguinte fórmula :

0,xxxxx...= x/9

• Tomamos o valor numérico de "x" como "9" 
• Chegamos a conclusão de que: 

0,9999...=9/9 = 1

Transformando num produto. 
 1 
= 9/9 
= 9 × 1/9 
= 9 × 0,111... 
= 0,999... 

Bibliografia: 
  1.  Números Racionais e Irracionais, Ivan Niven, Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, 1984
  2. A Matemática do Ensino Médio, Volume 1, Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado, Coleção do professor de Matemática, SBM
  3. Introdução à Teoria dos Números, José Plínio de Oliveira Santos, Coleção Matemática Universitária, IMPA