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quarta-feira, 5 de fevereiro de 2014

Os números 220 e 284

                                                  

Números amigáveis
220 e 284 formam o primeiro e menor par amigável. Cada um é a soma dos divisores próprios do outro: 220 = 22 x 5 x 11, sendo os seus divisores próprios 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110: total, 284.
284 = 22 x 71, sendo os seus divisores próprios, 1, 2, 4, 71 e 142, totalizando 220.
De acordo com Iâmblico, Pitágoras conhecia este par. No entanto, Pitágoras não teria possivelmente sido o único sábio da antigüidade que conhecia os números amigáveis. Os comentadores da Bíblia apontam a oferta de Jacob de 220 cabras a Esaú na sua reunião, uma oferenda amigável?
O brilhante matemático muçulmano, astrônomo e físico Thabit ibn Qurra descreveu no seu Livro sobre a Determinação de Números Amigáveis a regra de Euclides para os números perfeitos, métodos de construção de números abundantes e deficientes e a primeira regra para a construção de números amigáveis, da qual deduziu o par de Pitágoras, ou, talvez mais provável, os divisores de 220 e 284 sugeriram o enunciado da sua regra:
Encontre um número n maior que 1 e que torne estas três expressões números primos simultaneamente:

a = 3 x 2n – 1                    b = 3 x 2n – 1 – 1                   c = 9 x 22n – 1 – 1

Então, o par 2n x a x b e 2n x c será amigável.
O menor de qualquer par de Thabit é um número tetraédrico. 220 é o 10º número tetraédrico. Lee e Madachy sugerem que pode ser significante que o primeiro número perfeito, 6, iguale 1 x 2 x 3; o menor perfeito múltiplo, 120, seja 4 x 5 x 6, e a soma de 220 e 284 seja 504 = 7 x 8 x 9. Eles cometam que é conhecido que os Babilônios construíram tabelas de produtos de 3 números consecutivos que são apenas 6 vezes os números tetraédricos.
Existe uma semelhança óbvia com a regra de Euclides de números perfeitos pares. No entanto, a regra de Thabit não fornece todos os amigáveis. Na realidade, é um de entre um número de padrões semelhantes que geram pares amigáveis. É também muito difícil de utilizar devido a envolver a realização de 3 expressões de primos simultaneamente. O próprio Thabit ibn Qurra não encontrou nenhum novo par. De fato, a sua regra funcionava para n = 2, 4 e 7, mas para mais nenhum valore menore que 20 000.
O segundo par, 17 296 e 18 416, foi descoberto por outro árabe, Ibn al-Banna. É a regra de Thabit para n = 4. Este par foi redescoberto em 1636 por Fermat, que redescobriu também a regra de Thabit, tal como Descartes, que produziu um terceiro par, 9 363 584 e 9 437 056, dois anos depois. Esta é a fórmula de Thabit para n = 7.
Euler foi o primeiro matemático a explorar os números amigáveis com sucesso, encontrando muitos exemplos, mais de 60. Os seus métodos são ainda hoje a base de exploração.
Bastante mais de mil pares de números amigáveis são agora conhecidos, incluindo todos os possíveis em que o menor número é inferior a um milhão.
O maior, descoberto por te Riele, é o par: 34 x 5 x 11 x 528119 x 29 x 89(2 x 1291 x 528119 – 1) e 34 x 5 x 11 x 528119(23 x 33 x 52 x 1291 x 528119 – 1), cada com 152 algarismos.
Os métodos de te Riele permitem-lhe também gerar novos pares amigáveis de outros pares amigáveis. Aplicado a uma amostra de pares amigáveis, ele obteve mais de um n par filho o por n par pai o, o que sugere que talvez o número de pares amigáveis seja infinito.
O maior membro de um par amigável é claramente deficiente. Sabe-se também que nenhum dos membros de um par de pares é divisível por 3.  
Em todos os casos, os números dum par são ambos pares ou ambos ímpares, embora não se conheça nenhuma razão para que um par par-ímpar não exista.
Todos os pares têm também um divisor comum. Não se sabe se existem pares de números amigáveis co-primos. Se existirem, então, mesmo no caso mais favorável, no qual o seu produto é divisível por 15, esse produto tem de exceder 1067. Se o fizerem, não serão, com certeza, construídos pelo padrão de Thabit, ou qualquer outro semelhante.
Os números de todos os pares ímpar-ímpar conhecidos são também múltiplos de 3, pelo que numerosos matemáticos supõem com naturalidade que esta é uma regra geral.
Em 1968, Martin Gardner reparou que a soma de todos, os pares pares era divisível por 9, supondo naturalmente que esta também era uma regra geral. Não é, mas exemplos contrários são muito raros. Elvin Lee deu o exemplo 666 030 256, 696 630 544, descoberto originalmente por Poulet.
A maioria dos números amigáveis têm muitos divisores diferentes. Será possível a uma potência de um primo, pn, ser um dos números de um par amigável? Se o for, então pn é maior que 101500 e n é maior que 1400.


Uma generalização de pares amigáveis são os termos amigáveis, nos quais os divisores próprios de qualquer número somam a soma dos outros dois. Beiler dá o seguinte exemplo: 25 x 3 x 13 x 293 x 337;   25 x 3 x 5 x 13 x 16561; 25 x 3 x 13 x 99371.

Fonte: RPM ( Revista do Professor de Matemática)