Números
amigáveis
220 e 284 formam o primeiro e menor par amigável. Cada um é a soma dos
divisores próprios do outro: 220 = 22 x 5 x 11, sendo os seus
divisores próprios 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110: total, 284.
284 = 22
x 71, sendo os seus divisores próprios, 1, 2, 4, 71 e 142, totalizando 220.
De acordo com
Iâmblico, Pitágoras conhecia este par. No entanto, Pitágoras não teria possivelmente
sido o único sábio da antigüidade que conhecia os números amigáveis. Os
comentadores da Bíblia apontam a oferta de Jacob de 220 cabras a Esaú na sua
reunião, uma oferenda amigável?
O brilhante
matemático muçulmano, astrônomo e físico Thabit ibn Qurra descreveu no seu Livro
sobre a Determinação de Números Amigáveis a regra de Euclides para os
números perfeitos, métodos de construção de números abundantes e deficientes e
a primeira regra para a construção de números amigáveis, da qual deduziu o par
de Pitágoras, ou, talvez mais provável, os divisores de 220 e 284 sugeriram o
enunciado da sua regra:
Encontre um
número n maior que 1 e que torne estas três expressões números primos
simultaneamente:
a = 3 x 2n
– 1 b = 3 x 2n
– 1 – 1 c
= 9 x 22n – 1 – 1
Então, o par 2n
x a x b e 2n x c será amigável.
O menor de
qualquer par de Thabit é um número tetraédrico. 220 é o 10º número tetraédrico.
Lee e Madachy sugerem que pode ser significante que o primeiro número perfeito,
6, iguale 1 x 2 x 3; o menor perfeito múltiplo, 120, seja 4 x 5 x 6, e a soma
de 220 e 284 seja 504 = 7 x 8 x 9. Eles cometam que é conhecido que os
Babilônios construíram tabelas de produtos de 3 números consecutivos que são
apenas 6 vezes os números tetraédricos.
Existe uma
semelhança óbvia com a regra de Euclides de números perfeitos pares. No
entanto, a regra de Thabit não fornece todos os amigáveis. Na realidade, é um
de entre um número de padrões semelhantes que geram pares amigáveis. É também
muito difícil de utilizar devido a envolver a realização de 3 expressões de
primos simultaneamente. O próprio Thabit ibn Qurra não encontrou nenhum novo
par. De fato, a sua regra funcionava para n = 2, 4 e 7, mas para mais nenhum
valore menore que 20 000.
O segundo par,
17 296 e 18 416, foi descoberto por outro árabe, Ibn al-Banna. É a regra de Thabit
para n = 4. Este par foi redescoberto em 1636 por Fermat, que redescobriu
também a regra de Thabit, tal como Descartes, que produziu um terceiro par, 9
363 584 e 9 437 056, dois anos depois. Esta é a fórmula de Thabit para n = 7.
Euler foi o
primeiro matemático a explorar os números amigáveis com sucesso, encontrando
muitos exemplos, mais de 60. Os seus métodos são ainda hoje a base de
exploração.
Bastante mais de
mil pares de números amigáveis são agora conhecidos, incluindo todos os possíveis
em que o menor número é inferior a um milhão.
O maior,
descoberto por te Riele, é o par: 34 x 5 x 11 x 528119 x
29 x 89(2 x 1291 x 528119 – 1) e 34 x 5 x 11 x 528119(23
x 33 x 52 x 1291 x 528119 – 1), cada com 152
algarismos.
Os métodos de te
Riele permitem-lhe também gerar novos pares amigáveis de outros pares amigáveis.
Aplicado a uma amostra de pares amigáveis, ele obteve mais de um n par filho o por n par pai o, o que sugere
que talvez o número de pares amigáveis seja infinito.
O maior membro
de um par amigável é claramente deficiente. Sabe-se também que nenhum dos
membros de um par de pares é divisível por 3.
Em todos os
casos, os números dum par são ambos pares ou ambos ímpares, embora não se conheça
nenhuma razão para que um par par-ímpar não exista.
Todos os pares têm também um divisor
comum. Não se sabe se existem pares de números amigáveis co-primos. Se
existirem, então, mesmo no caso mais favorável, no qual o seu produto é
divisível por 15, esse produto tem de exceder 1067. Se o fizerem,
não serão, com certeza, construídos pelo padrão de Thabit, ou qualquer outro semelhante.
Os números de todos os pares ímpar-ímpar
conhecidos são também múltiplos de 3, pelo que numerosos matemáticos supõem com
naturalidade que esta é uma regra geral.
Em 1968, Martin Gardner reparou que a
soma de todos, os pares pares era divisível por 9, supondo naturalmente que
esta também era uma regra geral. Não é, mas exemplos contrários são muito
raros. Elvin Lee deu o exemplo 666 030 256, 696 630 544, descoberto originalmente
por Poulet.
A maioria dos números amigáveis têm
muitos divisores diferentes. Será possível a uma potência de um primo, pn,
ser um dos números de um par amigável? Se o for, então pn é maior
que 101500 e n é maior que 1400.
Uma generalização de
pares amigáveis são os termos amigáveis, nos quais os divisores próprios de
qualquer número somam a soma dos outros dois. Beiler dá o seguinte exemplo: 25
x 3 x 13 x 293 x 337;
25 x 3 x 5 x 13 x 16561; 25 x 3 x 13 x 99371.
Fonte: RPM ( Revista do Professor de Matemática)
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