terça-feira, 8 de novembro de 2011

Questão da FGV-SP-2005

FGV – SP) Os números 1, 3, 6, 10, 15, ... são chamados de números triangulares,
nomenclatura esta justificada pela seqüência de triângulos:













a) determine uma expressão algébrica para o enésimo número triangular.
b) prove que o quadrado de todo número inteiro maior do que 1 é a soma de dois
números triangulares consecutivos.

Solução:

a) determine uma expressão algébrica para o enésimo número triangular
.
Seja Tn o número triangular de ordem n ou seja, o n-ésimo ou enésimo número triangular.
Teremos, conforme enunciado da questão:
T1 = 1
T2 = 3
T3 = 6
T4 = 10 e assim sucessivamente. Desejamos achar Tn.

Observe que:
T1 = 1
T2 = 3 = 1 + 2 = T1 + 2
T3 = 6 = 3 + 3 = T2 + 3
T4 = 10 = 6 + 4 = T3 + 4
T5 = 15 = 10 + 5 = T4 + 5
Observando atentamente as igualdades acima, podemos deduzir imediatamente que:
Tn = Tn-1 + n , ou seja, cada número triangular é a soma do anterior com o seu número
de ordem.

Somando membro a membro as igualdades acima, teremos:
T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + ... + Tn = 1 + T1 + T2 + T3 + T4 + ... + Tn-1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n
Cancelando os termos iguais nos dois membros, fica:
Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n
Portanto, o enésimo número triangular é a soma de 1 a n.
Exemplo: T7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Ora, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n é a soma dos n primeiros termos de uma 
Progressão Aritmética de primeiro termo 1, razão 1 e último termo n. Pelo que já sabemos de P.A. poderemos escrever:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = [n (n + 1)] / 2
Portanto,

T
n = [n (n + 1)] / 2
Está portanto respondido o item (a).

Exemplos de números triangulares:

Qual o centésimo número triangular?
T100 = (100.101) / 2 = 5050

Qual o milésimo número triangular?
T1000 = 1000.1001 / 2 = 500500

Vamos agora responder o item (b):

b) Prove que o quadrado de todo número inteiro maior do que 1 é a soma de dois
números triangulares consecutivos.


Seja o número triangular Tn = [n (n + 1)] / 2 , expressão obtida no item anterior.
Os números triangulares são:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... obtidos fazendo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... na expressão acima.
Os quadrados dos números inteiros maiores do que 1 são:
4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Observe que realmente o quadrado de um número inteiro maior do que 1, é igual à soma
de dois números triangulares consecutivos, pois:
22 = 4 = 1 + 3 = T1 + T2
32 = 9 = 3 + 6 = T2 + T3
42 = 16 = 10 + 6 = T4 + T3
52 = 15 + 10 = T5 + T4 e assim sucessivamente.

Então, de uma forma genérica, n2 = Tn + Tn-1 , para n > 1 e inteiro.
Vamos provar isto.

Ora, já sabemos que Tn = [n (n + 1)] / 2 .

Para Tn-1, teremos: Tn-1 = [(n-1)(n – 1 + 1)] / 2 = [(n – 1) . n] / 2

Então,

Tn + Tn – 1 = [n (n + 1)] / 2 + [(n – 1) . n] / 2 = (n2 + n) / 2 + (n2 – n) / 2
Efetuando a soma indicada e simplificando obteremos finalmente:
Tn + Tn – 1 = n2 , o que comprova a afirmação do item (b).

Daí podemos inferir que a soma de dois números triangulares consecutivos é sempre
um quadrado perfeito.

Os números triangulares foram estudados por Pitágoras matemático e filósofo grego do século VI AC.

Poderemos também expressar um número triangular usando a 
Análise Combinatória.
Dos nossos conhecimentos de Análise Combinatória, poderemos escrever:

Cn+1, 2 = (n + 1)! / (n + 1 – 2)!.2! = (n+1)! / (n – 1)!.2! = (n+1).n.(n-1)! / (n-1)!.2.1
Simplificando, obteremos:
Cn+1, 2 = (n+1).n / 2 que é a mesma expressão para o enésimo número triangular, conforme vimos acima. Logo, poderemos concluir finalmente que:
Tn = Cn+1, 2 para n = 1, 2, 3, 4, ...

Portanto, o número de combinações simples de (n + 1) elementos associados 2 a 2 resulta no número triangular Tn .

Se considerarmos uma reunião de n pessoas, na qual todos se cumprimentam entre si,
qual seria o total de cumprimentos?
Vamos achar a resposta em função dos números triangulares.
Ora, se A aperta a mão de B, isto é a mesma coisa de B apertar a mão de A . Portanto,
para saber o resultado, basta calcular o número de 
combinações simples de n elementos tomados dois a dois, ou seja:

Cn, 2 = n! / (n – 2)!.2! = n (n – 1)(n – 2)! / (n – 2)!.2.1 = [n (n – 1)] / 2

Ora, n (n – 1) / 2 é exatamente o número triangular Tn-1 , pois:
Como Tn = n (n + 1) / 2, substituindo n por n – 1 vem exatamente:
Tn – 1 = n (n – 1) / 2

Portanto, numa reunião de n pessoas na qual todos cumprimentam-se entre si, haverão
Tn-1 cumprimentos, onde Tn -1 é um número triangular.

Por exemplo, numa reunião de 10 pessoas onde todos cumprimentam-se entre si,
teremos um total de T10 – 1 = T9 = 9.10 / 2 = 45 cumprimentos, ou seja, o número triangular T9.

Caros colegas, resolvam este:
Prove que 3Tn + Tn – 1 = T2 n , onde Tn é um número triangular de ordem n.

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