Logaritmos e a hora em que uma pessoa morreu

Olá meus caros alunos! Veja como os médicos legistas usam logaritmos para calcular a hora em que uma pessoa morreu. Essa questão caiu no Vestibular da Unesp.

(Vunesp) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h 30 min o médico da polícia chegou imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5°C. Uma hora mais tarde tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5℃; a temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5℃. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5℃ e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dado por

D(t) = D₀∙2^(-2αt), em que t é o tempo em horas, D₀ é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e alfa é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte:

	Hora	Temperatura do corpo (℃)	Temperatura do quarto (℃)	Diferença de temperatura (℃)
t = ?	morte	36,5	16,5	D(t) = 20
t = 0	22h 30min	32,5	16,5	D(0) = D0 = 16
t = 1	23h 30min	31,5	16,5	D(1) = 15

Considerando os valores aproximados log₂ 5 = 2,3 e log₂ 3 = 1,6, determine:

a) a constante α;

b) a hora em que a pessoa morreu.

Resolução:

O problema parece ser terrível, mas ele é para quem não tem domínio de linguagem e de propriedades logarítmicas.

Veja o item a) D(t) é a diferença entre a temperatura do cadáver com o meio ambiente. Na quinta coluna o problema dá essa diferença. Na fórmula em D(t) substitua D(1) = 15 e D(0) = 16, e use t = 1; aplique log de base 2 nos dois lados da igualdade e você terá:

D(t) = D₀ ∙ 2^-2αt → 15 = 16 ∙ 2^-2α1 → log₂ 15 = log₂ (2⁴∙2^-2α)

o resto é com vocês. A resposta é alfa = 0,05.

b) Sabendo o alfa vocês tem condições de saber em que hora a pessoa morreu. Só lembrando que D(t) = 20. Vocês irão achar um tempo igual a -3. Está certo, pois o negativo indica que a pessoa morreu três horas antes de ser achado.