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quinta-feira, 8 de setembro de 2011

Logaritmos e a hora em que uma pessoa morreu


Olá meus caros alunos! Veja como os médicos legistas usam logaritmos para calcular a hora em que uma pessoa morreu. Essa questão caiu no Vestibular da Unesp.

(Vunesp) O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h 30 min o médico da polícia chegou imediatamente tomou a temperatura do cadáver, que era de 32,5°C. Uma hora mais tarde tomou a temperatura outra vez e encontrou 31,5; a temperatura do ambiente foi mantida constante a 16,5. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja 36,5 e suponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dado por
D(t) = D0∙2(-2αt), em que t é o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente no instante t = 0D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante t qualquer e alfa é uma constante positiva. Os dados obtidos pelo médico foram colocados na tabela seguinte:
Hora
Temperatura do corpo ()
Temperatura do quarto ()
Diferença de temperatura ()
t = ?
morte
36,5
16,5
D(t) = 20
t = 0
22h 30min
32,5
16,5
D(0) = D0 = 16
t = 1
23h 30min
31,5
16,5
D(1) = 15
Considerando os valores aproximados log2 5 = 2,3 e log2 3 = 1,6, determine:
a) a constante α;
b) a hora em que a pessoa morreu.
Resolução:
O problema parece ser terrível, mas ele é para quem não tem domínio de linguagem e de propriedades logarítmicas.
Veja o item a) D(t) é a diferença entre a temperatura do cadáver com o meio ambiente. Na quinta coluna o problema dá essa diferença. Na fórmula em D(t) substitua D(1) = 15 e D(0) = 16, e use t = 1; aplique log de base 2 nos dois lados da igualdade e você terá:
D(t) = D0  2-2αt → 15 = 16 ∙ 2-2α1 → log2 15 = log2 (24∙2-2α)
o resto é com vocês. A resposta é alfa = 0,05.
b) Sabendo o alfa vocês tem condições de saber em que hora a pessoa morreu. Só lembrando que D(t) = 20. Vocês irão achar um tempo igual a -3. Está certo, pois o negativo indica que a pessoa morreu três horas antes de ser achado.